1. 단단한 제약 조건에서 소프트 페널티로
표준 문제를 고려해 보세요: $f_i(x) \le 0$ 및 $h_i(x) = 0$ 조건 하에서 $f_0(x)$를 최소화하세요. '단단한' 제약 조건은 지시자 함수와 동일합니다:
$$I_-(u) = \begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \infty & u > 0 \end{cases}$$
라그랑주 구성은 이 무한한 점프를 선형 페널티로 대체합니다. 우리는 목적 함수에 제약 함수들의 가중합을 더합니다:
$$L(x, \lambda, \nu) = f_0(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i f_i(x) + \sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x)$$
여기서 $\lambda_i$는 라그랑주 승수. 이것은 $i$번째 부등식의 영향을 조절하는 '부드러운' 페널티로 작용합니다. 중요한 점은, 지금 당장 볼록성을 가정하지 않는다는 것입니다. 이 프레임워크는 보편적입니다.
우리는 라그랑주 이중 함수 $g(\lambda, \nu)$를 $x$에 대한 라그랑주 함수의 하한으로 정의합니다. 중요한 성질은 하한 성질: 임의의 $\lambda \succeq 0$에 대해 $g(\lambda, \nu) \le p^*$입니다. 이는 직접적으로 해결하기 어려운 문제의 최적값을 한정할 수 있게 해줍니다.
2. 사례 연구: 하이브리드 차량 제어
연료 소비와 배터리 수명을 균형 잡는 차량을 상상해 보세요. 제약 조건은 물리적인 것입니다: 전력 수요는 언제나 충족되어야 합니다.
- 전력 균형: $P_{\text{req}}(t) = p_{\text{eng}}(t) + p_{\text{mg}}(t) - p_{\text{br}}(t)$
- 배터리 역학: $E(t+1) = E(t) - p_{\text{mg}}(t) - \eta |p_{\text{mg}}(t)|$
- 목표: 최소화 $F_{\text{total}} = \sum_{t=1}^{T} F(p_{\text{eng}}(t))$
라그랑주 프레임워크를 적용함으로써 배터리 용량 제약 조건은 그림자 가격. 컨트롤러는 현재 에너지의 '비용'(승수)과 연료 비용을 비교하여 연료를 태울지 배터리를 사용할지를 결정합니다.